voici la réponse à ma propre question :
Ils verront le point culminant d'Antigua (402 m) à environ 130 miles de la terre, soit demain !
Cliquez sur l'image pour agrandir...
A : poste de pilotage (à partir d'où se fait l'observation).
B : coque du bateau (niveau de la mer). On pose h = AB.
C : bateau observé sur l'horizon.
R : rayon de la Terre.
O : centre de la Terre.
L'angle
est un angle droit.
En effet, une droite tangente en un point d'un cercle est perpendiculaire au rayon en ce point.
(Rappels sur le cercle et la tangente)
Le triangle OCA est rectangle en C. On a donc :
Or, on a OB = OC = R. D'où on en déduit :
N.B : la fonction arccos correspond à la touche cos − 1 des calculatrices. Attention cependant :
.
La distance AC est la distance "à vol d'oiseau" entre le
poste de pilotage et le bateau que l'on observe sur l'horizon. La
distance qui nous intéresse ici est BC : c'est la distance que devrait parcourir le bateau d'où l'on observe pour rejoindre l'autre bateau.
Dans la suite, on pose BC = d.
Lorsque l'angle α varie de 0° à 360° (tour complet), on décrit toute la circonférence de la Terre, c'est-à-dire 2πR puisque la Terre est supposée être ronde.
Utilisation de la règle de trois :
Si un angle de 360° correspond à une distance de longueur 2πR alors un angle de α° correspond à une distance
. Or, on a vu précédemment que 
. D'où, finalement :
Avec R = 6378 km, on trouve (h doit être exprimé en km) :
Altitude (h)Distance de l'horizon (d)
Ils verront le point culminant d'Antigua (402 m) à environ 130 miles de la terre, soit demain !
Cliquez sur l'image pour agrandir...
A : poste de pilotage (à partir d'où se fait l'observation).
B : coque du bateau (niveau de la mer). On pose h = AB.
C : bateau observé sur l'horizon.
R : rayon de la Terre.
O : centre de la Terre.
L'angle
est un angle droit.En effet, une droite tangente en un point d'un cercle est perpendiculaire au rayon en ce point.
(Rappels sur le cercle et la tangente)
Le triangle OCA est rectangle en C. On a donc :
Or, on a OB = OC = R. D'où on en déduit :
N.B : la fonction arccos correspond à la touche cos − 1 des calculatrices. Attention cependant :
.La distance AC est la distance "à vol d'oiseau" entre le
poste de pilotage et le bateau que l'on observe sur l'horizon. La
distance qui nous intéresse ici est BC : c'est la distance que devrait parcourir le bateau d'où l'on observe pour rejoindre l'autre bateau.
Dans la suite, on pose BC = d.
Lorsque l'angle α varie de 0° à 360° (tour complet), on décrit toute la circonférence de la Terre, c'est-à-dire 2πR puisque la Terre est supposée être ronde.
Utilisation de la règle de trois :
Si un angle de 360° correspond à une distance de longueur 2πR alors un angle de α° correspond à une distance
. Or, on a vu précédemment que . D'où, finalement :Avec R = 6378 km, on trouve (h doit être exprimé en km) :
Altitude (h)Distance de l'horizon (d)
| 5 m | 8 km |
| 10 m | 11.3 km |
| 50 m | 25.3 km |
| 100 m | 35.7 km |
| 200 m | 50.5 km |
| 400 m | 71.4 km |
| 600 m | 87.5 km |
| 800 m | 101 km |
| 1 km | 113 km |
| 2 km | 159.7 km |
| 3 km | 195.6 km |
| 4 km | 225.8 km |
| 5 km | 252.5 km |
| 10 km | 357 km |
